مبانی آنالیز ریاضی راسل گوردون ترجمه حمیدی | نشر فاطمی

اطلاعات کتاب

پیشگفتار کتاب

هدفم از نوشتن این ویرایش همان هدف ویرایش نخست است: خلق روایتی خودمانی از ایده های آنالیز حقیقی مقدماتی با این ذهنیت که برای دانشجو می نویسم. ترتیب و حجم مباحث دست نخورده مانده است، اما در جاهایی بخش ها از نو مرتب شده اند، به طوری که ایده های مرتبط بهتر گروه بندی شده اند. چندتایی مبحث جدید اضافه شده است؛ مهمترین شان، تابع های با تغییر کراندار، تابع های محدب، روش های انتگرال گیری عددی و فضاهای متریک.

بیشترین تغییر در تعداد تمرین هاست؛ بیش از ۱۶۰۰ تمرین در این کتاب وجود دارد. در حقیقت، این ویرایش از اولی حجیم تر است، زیرا حدودا ۱۶۰ صفحه تمرین هایش می شود. به جای اینکه از محتوا و تغییرات فصل به فصل صحبت کنم بر سه موضوع تمرکز میکنم: انتگرال گیری، توپولوژی و سازماندهی تمرین ها.

همان طور که اکثر کسانی که آنالیز درس می دهند می دانند، دو روش مختلف برای تعریف کردن انتگرال ریمان وجود دارد: به عنوان حد مجموعهای ریمان یا مقدار مشترک اینفیمم و سوپریمم به ترتیب مجموعهای بالایی و پایینی. هر یک از این روش ها مزایای آموزشی و نظری خودش را دارد، همین طور معایب خاص خودش را. خیلی از استادان به روشی که ترجیح می دهند اعتقاد راسخ دارند.

من مجموع های ریمان را ترجیح می دهم، زیرا در این روش تعریف کردن انتگرال تا حدود زیادی ساده است، ایده ها برای دانشجویانی که درس حساب دیفرانسیل و انتگرال را گذرانده اند آشناست (هر چند که ممکن است خوب درکشان نکرده باشند و برخی ویژگی های انتگرال (مانند خطی بودن) واضح ترند.

در هر حال، در مواقعی لازم است که اثبات کسل کننده هم ارز بودن این دو روش آورده شود. در این ویرایش، باز هم از مجموعهای ریمان برای تعریف کردن انتگرال استفاده کرده ام، اما معیار کوشی برای انتگرال ها را در اوایل فصل انتگرال گیری ثابت کرده ام و (در واقع نشان داده ام که دو روش مذکور برای تعریف کردن انتگرال هم ارزند. در نتیجه، دو روش مختلف اثبات وجود انتگرال در اختیارمان است